Les identités remarquables

par Eda et Sanem


 

I. QUELQUES DEFINITIONS             

 Il existe trois sortes d’identités remarquables ; le carré d’une somme, le carré d’ une différence, le produit: “ somme, différence”.  On peut obtenir les égalités de ces identités par le développement:  

(a+b) ² = (a+b) (a+b) = a ² + 2ab + b ²
(a -b)²  = (a-b) (a-b) = a ² - 2ab + b²
(a+b) (a-b) = a² -ab +ab- b² = a² -b   

A partir de ces égalités, on peut factoriser les sommes et les différences de facon à trouver le produit initial:   

a²+2ab+b²=(a+b)² 
   a² -2ab + b² = (a-b)²
a² -b² = (a-b) (a+b)

II. D'OU VIENNENT LES IDENTITES REMARQUABLES ?

1) Personnages

A partir du VI ème siècle av. J.-C., les Grecs se sont beaucoup spécialisés en géometrie. Ils sont parvenus à figurer géometriquement des relations que les mathématiciens appellent aujourd’ hui identités remarquables. Après les Grecs, en 300 av. J.-C., c’ est Euclide qui a utilisé la méthode des aires pour démontrer les identités remarquables. Euclide (Alexandrie): nous ne possédons aucun renseignement sur sa vie. Certains pensent que c’était un groupe de mathématiciens, d’autres disent que c’était un individu. Mais l’essentiel c’est qu’il nous reste d’Euclide ses Eléments, un traité de mathématiques composé de 13 livres, 465 énoncés et leurs démonstrations et qui a été par la suite étudié par les arabes, les grecs et les européens. Dans la proposition 4 du livre II des Eléments, Euclide énonce les mêmes démonstrations que les Grecs.

2) Des démonstrations  

L’identité (a+b)² : 

( a+b)² = a² + 2ab + b²

 

L’identité (a-b)²  

(a-b)²= a²- ab - b(a - b)

          = a² -ab –ab+ b²

          = a²- 2ab + b²  

  

  L’identité (a-b) (a+b)  

(a –b) (a +b) = a(a+b) – ba- b²

                   = a² + ab – ba- b²

                   = a²- b²  

 

 III. Application des identites remarquables : le théorème de Pythagore

1)  Pythagore et son théorème  

Pythagore est né vers 560 av. J.-C., dans l’île de Samos, au large de Milet. Il est mort vers 480 av. J.-C., à Métaponte. Il a été l’élève de Thalès. Lui et son maître sont les premiers représentants de l’époque héllène. Pythagore a fondé à Crotone, une colonie grecque de l’Italie du Sud, une école mathématique et mystique. Les Pythagoriciens ont formé une secte religieuse et scientifique. Ensemble, ils ont repris le théorème que les Babyloniens avaient découvert 1000 ans auparavent: “ Dans én triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal, si je ne m’abuse, à la somme des carrés des deux autres côtés.”           

 


Bassin méditerraneen, centre des savants grecs  

AB² + AC²= BC²  

2) Des démonstrations du théorème de Pythagore

  - 300 av. J.-C.:     Euclide l’a demontré dans la proposition 47 du livre I des Eléments. 
    - XV ème siècle:   Léonard de Vinci (1452-1519), génie de la Renaissance, peintre sculpteur, architecte, ingénieur et mathématicien
    - XIX ème siècle:  Multatuli

Au cours de l’histoire, plusieurs mathématiciens de civilisations différentes se sont servis des identités remarquables pour démontrer la propriété dite de Pythagore. Les démonstrations qui suivent appliquent les identités remarquables.

a) Une ancienne démonstration

    Les mathématiciens chinois ont trouvé une façon simple de démontrer la propriété de Pythagore; ils se sont servis de l’identité (a+b)² .Plusieurs manuscrits ont été trouvés, mais aucuns ne sont datés.,  

 

Pourquoi le quadrilatère EFGH est-il un carré?  

Ses côtés c sont égaux  
Ses angles sont droits
BEF et BFE sont complémentaires : BFE=AEH donc AEH+BEF=90°

AEB est un angle plat : HEF= 180- 90= 90°

On exprime de deux facons l’aire du carré ABCD.

(a+b)² = a ² +2ab+b²
4 (ab)+c² = 2ab+c²  

On en déduit la propriété de Pythagore.

a² +2ab+b ² =2ab+c²
a ² +b² =c²      

 


b) La démonstration de Garfield

Abraham Garfield ( 1831-1881), vingtième président des Etats-Unis, était géomètre amateur. Le 1er avril 1876, il a proposé une démonstration basée sur la moitié de la figure chinoise que l’ on a précédemment vue. Il a lui aussi utilisé l’ identité (a+b)² .  

 

Exprimer de deux façons l’aire du trapèze ABDE.

                 

On en déduit la propriété de Pythagore.

   
 a² +b² =c²


c) La démonstration de Bhaskara

      Bhaskara (1114-1185) était un mathématicien, astronome et mécanicien hindou. Il a composé plusieurs traités, dont Liavati, “la joueuse”. En 1150 après J.-C., il a obtenu une remarquable démonstration du théorème de Pythagore. Il s’est lui servi de l’ identité (a-b) 

 

Exprimer de deux façons l’aire du carré ABCD

  

c² = 4 (ab) + (b-a) (b-a)
c² = 2ab+ (b-a)²
c² = 2ab+ b² -2ab +a²  
c² = b² +a²

     On en déduit la propriété de Pythagore : c ² = b² +a²

IV. Chronologie: synthèse 

4000-2000 av. JC Epoque des Babyloniens, premiers à découvrir la propriété de Pythagore.  
VI ème s av. JC. Epoque héllénistique (grecs) avec Thalès et Pythagore.  
300 av JC Euclide, qui a  démontré les identités remarquables et la propriété de Pythagore.  
III ème s ap. JC

Fin de l’époque héllènistique, avec Pappus d’ Alexandrie qui a écrit les Collections mathématiques.
Le mathématicien chinois Lui Hui, qui a démontré le théorème de Pythagore.  
IX ème s ap. JC Les arabes, qui eux aussi ont démontré la propriété de Pythagore.  
XII ème siècle Les Hindous, avec Bhaskara quý a démontré le théoreme de Pythagore avec l’identité (a-b)² .  
XV ème siècle L’Europe, avec Léonard de Vinci qui a démontré la propriété de Pythagore.  
XIX ème siècle Les Chinois ont proposé une autre démonstration de la propriété de Pythagore.  
Garfield, président des Etats-Unis, a démontré le théorème de Pythagore avec l’identité (a+b)² .

 

 

 V. Conclusion

      Les trois identités remarquables ( carré d’ une somme, carré d’ une différence, produit: “ somme, différence” ) ont connu des démonstrations géométriques: celle des grecs, au VI ème siècle av. J.-C., et celle d’ Euclide, au IV ème siècle av. J.-C.

     Les identités remarquables ont principalement servi aux grands mathématýcýens dans la démonstration de la propriété de Pythagore qui, par les milliers de démonstrations qu’elle a connu, est le plus fameux théorème de tous les temps.