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Le nombre Pi par Çağıl |
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I. Introduction
Le nombre Pi est parvenu à nos jours en évoluant au cours des siècles. De nos jours on peut trouver à peu près 1 000 000 000 000 de décimales de Pi, c’est-à-dire (10 puissance 12 chiffres après la virgule). Le nombre Pi sert à calculer les volumes, les aires des sphères ou des disques.
II. Histoire
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1. Babyloniens Une tablette babylonienne trouvée en 1936 date de plus de 4000 ans. Les Babyloniens savaient que le périmètre d’un hexagone est le triple de son diamètre. Ils savaient que le rapport entre le périmètre d’un cercle de 1 cm de rayon et celui d’un hexagone inscrit avait une valeur de 57/60+36/(60)² (valeur obtenue d’après un usage de base de 60). Ils en ont déduit: Π = 3/(57/60+36/3600) = 3+1/8 = 3,1 25
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2. Egyptiens Le papyrus de Rhind trouvé en 1855, recopié vers 1650 avant J-C par le scribe Ahmès montre que les Egyptiens ont travaillé sur le nombre Pi. Les archéologues et les chercheurs ont conclu que le problème était encore plus ancien (1800 ans av.J.C.) . Le calcul de ce problème évalue le nombre Pi à une formule de (16/9)² = 3,160449. Méthode de calcul : On construit un octogone dans un carré, dont chaque côté mesure 9 unités. L’aire de cet octogone est égale à 63 unités en comptant les carrés et les demi-carrés qui le constituent. On dessine un cercle qui a pour aire (9/2)²Π, circonscrit à cet octogone. Cette aire est à peu près égale à 63. Puis on remplace 63 par 64 pour faciliter les calculs et on trouve (16/9)²Π pour l’aire de ce cercle. Autrement dit les Egyptiens connaissaient la formule pour calculer le périmètre d’un cercle: P=2Πr.
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3. Dans la Bible:
Dans la Bible (Livre des Rois 1, 7, 3 et 2, chronique 4, 2), le texte expliquant la construction du temple de Salomon et la description du grand chaudron du fondeur de bronze Hiram (aux alentours de 550 avant J.C.) indique l’utilisation du nombre Pi. Π=3. Cette valeur n’était qu’une approximation.
4. Grecs
Les Grecs ont travaillé sur les quadratures du cercle et ont défini : Π=3,1
5. Archimède de Syracuse (287-212 avant J.C.)
Mathématicien et ingénieur, il progresse sur le sujet de Pi. Il établit que le rapport de la surface d’un disque au carré de son rayon est égal au rapport de son périmètre à son diamètre. Ensuite, en considérant des polygones de 6, 12, 24, 48 puis de 96 côtés, il détermine des encadrements.
3+10/71 < Π <3+1/7 ou 223/71 < Π < 22/7
Il obtient 3,1408 < Π < 3,1429.
Il utilisait des calculs abstraits mais pas des mesures. C‘est le premier à proposer une méthode de calcul de Pi avec une précision aussi grande que l’on veut.
6. En Inde
En Inde le plus ancien document date de 380 après J.C. Ce texte utilise les valeurs : 3+177/1250 = 3,1416
Aryabhata en 449 utilise 3, 1416 comme valeur d’après
les formules d’Archimède.
Un peu plus tard, en 596 après J.C. le mathématicien
Brahmagupta définit
Π = V10 = 3,162277.
7. En Chine :
En 1200 avant J.C. les Chinois utilisaient la valeur Π=3.
En 130 de notre ère Hou Han Shu proposa Π = 3,1622 comme valeur très proche de V10.
En 263, Lui Hui étudie comme Archimède un polygone de 192 côtés et proposa l’encadrement:
3,1415926 < Π < 3,1415927
et trouve l’approximation de 355/113 que l’Europe ne trouvera qu’au XVIe siècle.
8. Dans le monde de l’Islam :
Vers l’an 800, Muhammed ibn Musa Al-Khwarizmi né en Huwarizm (en Ouzbekistan nommé aujourd’hui Khiva) a utilisé la valeur Π=3,1416.
Vers 1450 Al-Kashi astronome à Samarkand (en Turkestan) dont il dirige un observatoire calcule Pi avec 14 décimales.
Par la méthode d’Archimède :
C‘est la première fois dans l’histoire de l’humanité que l’on obtient plus de dix décimales de Π.
Al-Khashi calcule dans le système sexagésimal et trouve
Π = 3,082944004725530725.
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Un petit poème pour le nombre Pi. (En effet, en remplaçant chacun des mots par le nombre de lettres le constituant, on obtient... Pi!) Que j' aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste ingénieux ! (Remarque: un mot de 10 lettres = 0) 3,14159265358979323846264338327950288419 |
9. En Europe :
Claude Ptolémée, astronome et géonome grec (vers 100-170) utilise la valeur sexagésimale:
3+8/60+30/(60)²=3+17/120=377/120= 3,1416666
En 1220 Léonard de Pise (dit Fibonacci) [1180-1250] calcule
Π=3,141818
En 1573 en Allemagne Valentinus Otho trouve 355/113 (déjà connu par les Chinois depuis le Ve siècle) Π=3,14159292 (utilisation avec 6 décimales).
En Allemagne Nicolas de Cues (1401-1464) propose la valeur
Π = 3/4 (V3+V6) = 3,13615. Regimontanus a démontré sa fausseté un peu plus tard.
En 1593 aux Pays-Bas Adriaen von Rooman (1561-1615) calcule Π avec 15 décimales en utilisant un polygone.
Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilise la méthode d’Archimède à l’université de Leyde .En 1596, il calcule Pi avec 20 décimales puis en 1609 avec 34 décimales.
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10. Issac Newton Issac Newton (1642-1727) calcule Pi avec 16 décimales. 11. Wiliam Gosper Calcule Pi avec 17 millions de décimales en 1985.
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12. Au Japon
Yasumasa Kanada
En 1997 Yasumasa Kanada et Daisuke Takahashi obtient le record de Pi avec 51 539 600 000 décimales.
Conclusion
On voit que le nombre Pi est un nombre infini dit “transcendant”, et a une histoire qui date de 2000 ans avant J-C Ce nombre est infini. On peut même trouver des chansons, des poèmes, ou écrits sur le nombre Pi. Ce qui montre que Pi est aussi un nombre fascinant.
REfErences
Le fascinant nombre Pi de Jean-Paul DELAHAYE
Jean-Paul DELAHAYE est professeur d’ informatique à
l’université des sciences et technologie de Lille, et chercheur au
laboratoire d’informatique fondamentale de Lille du CNRS.