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En arithmétique la racine carrée d’un nombre positif, est un nombre réel positif, qui multiplié par lui même donne ce nombre.

Dans une équation algébrique, une valeur de l’inconnue qui vérifie l’équation est une “racine de l’équation”. La recherche de la (ou des) racine(s) des équations algébriques et de l’existence d’une formule permettant leur calcul en fonction des coefficients de l’équation, a constitué jusqu’au XIX° siècle l’essentiel des recherches de l’algèbre classique.

Tout a commencé environ 2400 ans av JC. Nous sommes en Mésopotamie où furent découvertes les premieres démonstrations de résolution d’une équation.

Les textes mathématiques retrouvés en Mésopotamie sont dans leur très grande majorité des textes scolaires utilisés dans les écoles de scribes. Les enfants apprennent les 4 operations, réalisées grâce à des tables de calculs. Ils apprennent à résoudre des problèmes selon des procédures décrites sur des exemples. (Des archélogues ont retrouvé des commentaires d’éleves qui se plaignent de la difficulté de cette discipline, certains problèmes sont totalements irréalistes et non pratiquables dans la vie courante).

2. Les mathématiques grecques

Les grecs anciens et plus particulièrement Pythagore croyaient que toute grandeur pouvait être rationnelle:

“Tout segment contient un nombre entier de points et la longueur d’un segment est proportionnelle au nombre de ses points. En conséquence, le quotient de deux longueurs devrait s’écire sous forme d’une fraction.”

La découverte du Théorème de Pythagore et de racine de 2 a abouti à une véritable crise au sein des mathématiques grecques. Cette crise trouvera sa résolution grâce à une démonstration géométrique d’Eudox: racine de 2 ne peut pas s’écrire à l’aide d’une fraction (ce qui a beaucoup étonné les Grecs).

Pour la petite histoire à la suite de cette crise, les mathématiques grecques se scindaient en deux. D’un côté l’arithmétique et la géométrie s’occupaient du côté théorique et de l’autre la logistique des aspects calculatoires.

Héron d’Alexandrie imagina un procédé très ingénieux donnant une suite de fractions qui s’approche de la racine carrée cherchée. De nos jours, ce genre de procédé est très utilisé pour approcher par ordinateur les solutions de certaines équations.

Héron d’Alexandrie ( ou l’Ancien)

Né au I° siècle après J.Christ, il est mathématicien grec. Il écrit des traités de mathématiques élémentaires, en particulier des recueils de problèmes (Geometrica, Stereometrica), sans doute des métriques. Commentateur d’Euclide, Héron connaît bien la grande tradition géométrique grecque. Ainsi les métriques font-elles abondamment usage des résultats d’Archimède. Il représente moins, comme on le dit souvent, la décadence des mathématiques pures qu’une réelle promotion des mathématiques appliquées.

Viennent ensuite les arabes avec Al’Kwarizmi qui a établi les règles de calcul sur les racines carrées et Al’Samaw’Al qui a apporté une solution de racine carrée à l’aide d’un tableau de proportionalité.

Ibn Musa al-Khuwarizmi

Né vers 780, c’est un mathématicien arabe, dont les travaux sur l’algèbre, l’arithmétique et les tables d’astronomie ont considérablement fait progresser la pensée mathématique. Al-kwarizmi était le collègue de Al-Hajjaj, qui était le traducteur d’Euclide. Al-Kwarizmi était aussi un membre de la « maison de sagesse ». Il écrit dans la première moitié du IX° siècle le « petit livre d’al-jabr » et « d’al-muquabala ». Il fut le premier à utiliser à des fins mathématiques l’expression al-jabr, dont est dérivé le mot français algèbre. Malheureusement sa vie est très mal connue. Son arithmétique traduite en Latin au XII°, par les traducteurs Robert de Castres et Adélax de Bath, contribue très largement à faire connaître dans l’Occident chrétien les chiffres dits arabes (qui sont en réalité indiens) et les méthodes de calculs. Ses travaux sur les Algorithmes, terme dérivé de son nom, permirent d’introduire la méthode de calcul utilisant les chiffres arabes et la notation décimale.

Dès le deuxième siècle après J-Christ, la racine carrée à été symbolisée par la lettre /, initiale du mot latus qui désigne en latin le côté d’un carré. Par exemple, /12 était le côté d’un carré ayant pour aire 12 ; c’est-à-dire que /12= 12.

Plus tard, de nombreux mathématiciens ont utilisé la lettre r, initiale du mot latin radix signifiant “racine”.

Au 16° siècle, on pouvait relever plus de 25 symboles différents pour désigner la racine carrée.

En 1525, l’allemand Cristoph Rudolph introduit le signe √, mais sans la barre au-dessus (on ne sait pas si ce symbole est une déformation de la lettre r, mais ce qui est sûr c’est qu’il a remplacé les autres signes).


1. Tablette de comptabilité en argile (2400 av.JC), Musée du Louvre.	2. Méthode de calcul de la racine carrée d’un nombre trés grand de l’ordre de 10¹¹ Musée archéologique d’Istanbul.