La trigonométrie

par Bahar Topçu - Duygu Karaaslan

 

Introduction

Le mot trigonométrie signifie (du grec tri: trois, gonia: angle, et du latin metiri: mesurer) “mesure des triangles”. La trigonométrie est l’art de trouver les parties inconnues d’un triangle par le moyen de celles qu’on connaît. On peut utiliser pour cela sinus, cosinus et tangente.

Les origines de la trigonométrie

Thalès est astronome, mathématicien et philosophe grec (Milet, v. 625 av. J.-C. - v. 547 av. J.-C.). Il est un grand voyageur, il aurait rapporté de Babylone et d'Égypte les éléments d'algèbre et de géométrie. On lui attribue certaines connaissances sur les rapports des angles avec les triangles auxquels ils appartiennent, l'affirmation, sinon la démonstration, de l'égalité des angles opposés par le sommet. Il aurait déterminé la hauteur d'un objet au moyen de son ombre, effectué la première mesure exacte du temps à l'aide du gnomon (instrument composé d’une tige verticale faisant ombre sur une surface)  et indiqué comment mesurer la distance d'un navire au rivage. Il dut sa célébrité à la prédiction d'une éclipse de Soleil, vraisemblablement celle de 585 av. J.-C. 

Sa doctrine philosophique est fondée sur l'eau, élément premier qui donne naissance aux autres éléments. En partant de cette idée, Thalès fait une hypothèse raisonnable sur la formation de l’univers. 

Cette science vient du ciel. Les grands mathématiciens de l’Antiquité ont trouvé des théorèmes grâce à leurs observations. Ils pensaient généralement que la Terre est au centre de l’Univers et que les astres sont situés sur une voûte céleste sphérique. Les Babyloniens et les Égyptiens possèdent des éléments de géométrie, relatifs à ces observations astronomiques et à la construction des pyramides.

          

Ensuite les astronomes commencent à établir des tables permettant le passage de la mesure a celle des arcs et des cordes. Les premières tables des cordes, celle d’Hipparque (né en 190 av J.C.,dit le Rhodien, car il écrit la plupart de ses travaux à Rhodes, il est connu comme l’ancêtre de la trigonométrie, il est le plus brillant astronome de l’Antiquité à Nicée : Iznik, mort en 120 av J.C. a Rhodes en Grèce)sont perdues. Il fait ces tables grâce à un immense travail d’observation des astres. A la suite des astronomes babyloniens, il introduit la division du cercle en 360º. L’unité d’angle d’Hipparque est le degré qu’il partage en 60 minutes, et les minutes en 60 secondes, comme faisaient jadis les Babyloniens (Au 3e millénaire avant notre ère, ils ont créé le premier système de numération. Au lieu de la base 10 actuellement en usage, les Babyloniens comptaient en base 60).

Plus tard, les tables de Ptolémée établissent le passage entre les longueurs des cordes et celles des valeurs d’arcs. Vers 160 après J.C., Ptolémée (astronome, géographe grec, 90-168) rédige un traité d’astronomie qui devient célèbre après avoir été traduit en arabe: l’Almageste (al  megistos= le  très grand). Ce traité représente une véritable encyclopédie du savoir de l’Antiquité, dans des domaines très variés comme l’optique, la géographie, la chronologie historique et l’astrologie. Il contient ses connaissances astronomiques, la description des instruments d’observation du ciel des Grecs.Ptolémée  y expose aussi toute la trigonométrie de l’Antiquité. Il explique comment calculer des longueurs de cordes, et il publie une table très complète.

On y trouve présenté le célèbre système géocentrique qui  est considéré comme vrai jusqu'à la Renaissance ; la Terre est immobile au centre de l’Univers, autour d’elle, il y a des sphères célestes successives. Ils connaissaient seulement la présence de six planètes avec la Terre. La huitième sphère, très lointaine, à laquelle sont accrochés les étoiles, marque la limite de l’Univers.  

 

Ces tables de cordes sont les premiers exemples de fonctions dans l’histoire des mathématiques. C’est à cette époque que les Grecs ont pris l’habitude de diviser le cercle en 360 degrés.

Un mathématicien indien du 5e siècle, nommé Aryabhata, (premier grand mathématicien, astronome, 476-550. Il affirme, contrairement à  Ptolémée (la Terre est immobile au centre de l'univers)  la rotation de la Terre. Il nous fut connu par un important traité appelé l'Aryabhatiya, relatif à l'astronomie et aux mathématiques qui fut traduit en Europe au 19è siècles)a eu la bonne idée de considérer la demi-corde de l’angle double plutôt que la corde de l’angle.

 

Les Indiens ainsi remplacent les tables des cordes par celles de sinus. Voici l'histoire probable du mot " sinus ", qui vient d'une erreur de traduction. ; Âryabhata (VIe siècle) utilise le mot jîva qui signifie corde. Le mathématicien arabe Al-Fazzârî (VIIIe siècle) arabise ce mot en jîba, mot n'ayant pas de signification en arabe. Gérard de Crémone (XIIième siècle) confond jîba avec jaîb, or jaîb signifie "poche, cavité" et il le traduit en latin par sinus.

Quant au cosinus, c'est tout simplement le sinus de l’angle  complémentaire ; " co " vient du latin cum, qui signifie " avec".

Al-Khwarizmi (astronome arabe, 780-850, né à Khwarizem  Ouzbékistan)  est le 1er mathématicien arabe à établir des tables de sinus, puis Abu al-Wafa   (astronome mathématicien perse, 940-997,  a travaillé surtout sur la tangente) ou Nasir al-Din al-Tusi  (mathématicien, astronome arabe, 1201-1273, a rédigé “mémoire sur l’astronomie”)  en établir d’autres toujours plus précises.

Juste après, Habash al-Hasib (« le calculateur ”, origine d’Egypte, fin du 9eme siècle  début du 10eme siècle) invente la tangente qui est l’outil idéal pour mesurer des hauteurs. (tangente = tangere en latin qui signifie toucher)

Les Européens ignorent ces résultats jusqu’au 12eme siècle. Beaucoup d’ouvrages mathématiques sont traduits en latin ce qui permet aux connaissances mathématiques de pénétrer l’Europe. L’allemand  Regiomontanus  (astronome, mathématicien, 1436-1476)  au 15eme siècle qui est le créateur du mot sinus. Les mathématiciens de l'Allemagne du Nord affinent la précision des tables et utilisent pour le rayon un nombre d'unités de plus en plus grand, jusqu'à 1015, afin d'éviter fractions et nombres décimaux. Le sinus reçoit sa signification actuelle et on simplifie les formules, dont  le Français François Viète (mathématicien né a Fontenay-le-Comte 1540 - Paris 1603) systématise l'étude pour le plan et la sphère.

Les notations “sin, cos, tan” sont introduites par Albert Girard (géomètre français, 1595-1632).

 

Conclusion 

 Aujourd’hui cette science qui vient du ciel intervient dans toutes les branches de la physique. Par exemple l’intensité du courant électrique fourni par EDF s’exprime à l’aide de sinus. Finalement on utilise la trigonométrie dans de nombreuses activités : arpentage, navigation, aviation.

 

Références

Le nouveau Pythagore 3eme
Larousse Multimédia Encyclopédique  97
www.maths.net/maths/trigo.html
www.math93.forez.com
www.perso.club.internet.fr/rferreo/langage/notations.htm